非法运输烟叶司机，如果仅是一个无证运输卷烟，根据《烟草专卖法》第三十一条第一款（无准运证或者超过准运证规定的数量托运或者自运烟草专卖品的，由烟草专卖行政主管部门处以罚款，可以按照国家规定的价格收购违法运输的烟草专卖品；情节严重的，没收违法运输的烟草专卖品和违法所得）的规定，不会被追究刑事责任。
如果非法运输烟草即触犯了《刑法》中的非法经营罪，是要承担相应的刑事责任。非法经营罪，是指未经许可经营专营、专卖物品或其他限制买卖的物品，买卖进出口许可证、进出口原产地证明以及其他法律、行政法规规定的经营许可证或者批准文件，以及从事其他非法经营活动，扰乱市场秩序，情节严重的行为。