单位不签劳动合同的责任有：
(一)支付双倍工资
根据《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资
(二)视为已签订无固定期限合同关系成立
根据《劳动合同法》第十四条规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立。如果用人单位自用工之日超过一年没有与劳动者签订劳动合同的，视为用人单位与劳动者之间签订了无固定期限劳动合同。
(三)不将劳动合同交付劳动者将面临赔偿损失之责任
劳动合同作为劳资双方权利与义务的凭证，应由劳资双方分别持有，这样有利于劳资双方互相监督以确保劳动合同严格执行。